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Scritto da Matteo Maggiora

Prendiamo una striscia di carta, formiamo un anello e prima di incollare le estremità, diamo ad una di esse una mezza torsione, ruotiamola cioè di 180°.

Quella che otteniamo è una superficie con caratteristiche topologiche veramente sorprendeneti.  Si tratta del Nastro di Möebius, dal nome del matematico tedesco che per primo ne studiò e ne descrisse le proprietà.

Scopriamo chi era Möebius, quali sono le proprietà della superficie uni-latere che ancora oggi porta il suo nome e quali impatti ha avuto nella vita quotidiana la sua più celebre scoperta.

Chi era Möebius?

Clifford A. Pickover, nel suo libro "Il Nastro di Möebius", definisce il matematico e astronomo sassone un "Orologiaio Matematico":

"In fin dei conti Möebius fu un orologiaio dei numeri che lavora con lentezza e metodo. Ognuna delle sue idee matematiche funziona come un ingranaggio che deve cooperare con altri ingranaggi con la massima precisione [...]"

 [cit.: Clifford A. Pickover, Il Nastro di Möebius]

Discendente di Martin Lutero da parte di madre, August Ferdinand Möebius (1790 - 1868), fu una delle più brillanti ed eclettiche menti matematiche del XIX secolo.

August, orfano di padre sin dalla tenera età, non ricevette un'educazione formale fino a 13 anni quando iniziò a frequentare la scuola secondaria di Schulpforta, suo paese natale.

Nel 1809, terminati gli studi superiori, si iscrisse alla facoltà di giurisprudenza dell'Università di Lipsia. Ben presto però il grande interesse per le scienze matematiche lo portò ad abbandonare gli studi in legge, intrapresi unicamente per assecondare i desideri della propria famiglia,  per frequentare  i corsi di matematica, fisica e astronomia.

Durante il periodo degli studi accademici, l'insegnante che più influenzò il giovane August fu Karl Mollweide, ordinario della cattedra di astronomia e matematico, noto per i suoi lavori sulle relazioni trigonometriche e sulle proiezioni geometriche applicate alla cartografia.

Tra il 1813 e il 1814 Möebius si trasferì a Gottinga per studiare astronomia con Carl F. Gauss e successivamente ad Halle per perfezionare la sua istruzione matematica con Johann F. Pfaf, precettore di Gauss.

Nel 1815  pubblicò i suoi primi lavori: la tesi di dottorato "De Computandis Occultationibus Fixarum per Planetas", riguardante le occultazioni delle stelle fisse, e quella di post dottorato sulle "Equazioni Trigonometriche".

Nel 1816 divenne professore straordinario di Astronomia a Lipsia, a causa però della sua indole riservata e della sua scarsa attitudine all'insegnamento, fu ben presto costretto ad impartire gratuitamente le lezioni pur di avere un numero sufficiente di studenti in aula.

Tra il 1827 e il 1831 si dedicò principalmente allo studio della geometria analitica e  proiettiva. In questo periodo pubblicò su Crelle, giornale scientifico dedicato interamente ad argomenti di carattere matematico, due importanti lavori:

  • "Der barycentrische Calcul" ("Il calcolo baricentrico"), in cui introdusse le coordinate omogenee e la trasformazione di Möebius
  • "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", in cui introdusse la funzione di Möebius e la formula d'inversione di Möebius.

Nel 1836 e nel 1843 pubblicò due lavori di carattere astronomico: "Die Hauptsätze der Astronomie" ("Principi di astronomia") e "Elemente der Mechanik des Himmels" ("Elementi di meccanica celeste") che divennero ben presto dei classici.

Nel 1844 divenne finalmente ordinario della cattedra di astronomia presso l'Università di Lipsia e nel 1848 fu nominato direttore dell'osservatorio astronomico dell'ateneo per il quale, negli anni precedenti, aveva curato i lavori di restauro.

Nel 1858, all'età di 68 anni, scoprì e studiò la superficie ad una sola faccia che oggi porta il suo nome. Le proprietà di questo oggetto topologico furono discusse da Möebius in una memoria, redatta per l'Accademia delle Scienze di Francia, che venne resa pubblica solo dopo la sua scomparsa.

La scoperta del Nastro di Möebius fu fatta qualche tempo prima e in modo indipendente anche da Johann Benedict Listing che tuttavia rese pubblici i risultati del suo lavoro solo nel 1861.

Un anello per sedurvi...

No, Möebius non è un seguace di Sauron e l'anello che porta il suo nome non è uscito da un racconto di J.R.R. Tolkien. Il titolo però è quanto mai azzeccato. L'Anello (o nastro) di Möebius è il capostipite di una famiglia di oggetti topologici veramente affascinanti, dalle mille imprevedibili trasformazioni e dalle sorprendenti proprietà.

Costruirlo è molto semplice. Ecco descritti, con le parole di Möebius, i passaggi necessari per fabbricarne uno:

"Mentre tenete fisso il lato AB, piegate il nastro di un angolo di 180° intorno alla linea mediana parallela ad AB' fino a quando A'B' è opposto ad AB e poi portate A'B' a coincidere con A"

 [cit.: August F. Möebius, Poliedri a una faccia]

 

Se proviamo a far scorrere un dito lungo il bordo dell'oggetto che abbiamo appena creato, notiamo che è possibile percorrerne interamente il contorno e a tornare all'esatto punto da cui siamo partiti senza mai incontrare alcuno spigolo o discontinuità.

Un comportamento analogo possiamo riscontrarlo anche facendo scorrere il dito lungo la sua superficie. Dopo aver percorso interamente il nastro, ci troviamo all'esatto punto di partenza senza aver mai dovuto attraversare alcun confine.

L'Anello di Möbius è dunque un oggetto che possiede una sola faccia ed un solo bordo. Queste peculiarità lo rendono una superficie non orientabile, dove cioè non esiste un "dentro"  o  un "fuori" e neppure un "sopra" o un "sotto".

I nastri di Möebius però non sono tutti uguali. Possono essere infatti sinistrorsi o destrorsi, a seconda dell'orientamento impartito alla mezza torsione al momento dell'assemblaggio. Questa caratteristica prende il nome di chiralità (dal greco cheir, "mano").

Una figura  chirale  è una figura non sovrapponibile alla sua immagine  speculare.  In natura la chiralità è riscontrabile nella struttura di alcune molecole e nello spin di alcune particelle.

Le sorprendenti proprietà del Nastro di Möebius però non si esauriscono qui. Questo oggetto topologico, definito "salottiero" da Ian Stewart, si presta infatti a molte applicazioni sia pratiche, sia ludiche.

E proprio con un gioco di prestigio proseguiamo la nostra indagine topologica. Si tratta di un gioco nato all'inizio del '900 e conosciuto con il nome di "Gioco delle Bande Afghane".

Prendiamo tre striscioline di carta e su entrambi i lati di ciascuna disegniamo un linea che le divida longitudinalmente. Assembliamole per creare: un anello tradizionale, un Nastro di Möebius e una terza superficie a cui applichiamo una torsione intera, ruotiamo cioè di 360° una delle due estremità prima di unirla con l'altra.

 

Tagliamo a metà l'anello tradizionale seguendo la linea che abbiamo appena disegnato. Il risultato è intuitivo,  una volta completato il taglio, avremo una coppia di anelli più sottili.  Proviamo ora a tagliare le altre due superfici. Prima il Nastro di Möebius e poi quello con una torsione di 360°.

Sorpresi?

Contrariamente a quanto avremmo potuto aspettarci, nel caso del Nastro di Möebius non otteniamo due anelli, ne otteniamo solamente uno, lungo il doppio rispetto a quello di partenza.

Mentre la striscia con la torsione di 360°?  Beh, qui la faccenda si ingarbuglia...  otteniamo infatti due anelli concatenati: un Nastro di Möebius e una striscia più sottile sempre con una torsione di 360°.

 

Costruiamo un'altra striscia di Möebius e questa volta proviamo a tagliarla ad un terzo circa dal bordo. Il risultato è ancora una volta spiazzante! Come nel caso dell'anello con una torsione intera, otteniamo due anelli concatenati!

In quest'ultimo caso abbiamo effettuato una trisezione del nastro. In altre parole, avendo scelto di tagliare longitudinalmente l'anello partendo da un terzo della sua larghezza anziché dalla metà, abbiamo dovuto compiere due giri della superficie per tornare esattamente al punto di partenza. In pratica, è come se avessimo tagliato a metà due volte consecutive l'Anello di Möebius.

In generale, il numero di mezze torsioni applicate all'anello influenza il comportamento della superficie stessa. Se indichiamo con m il numero di mezze torsioni, quando m è dispari si ottiene una superficie di tipo Möebius, cioè con una sola faccia ed un solo bordo. Tagli successivi producono 2m + 2 mezze torsioni e se m è maggiore di 1, il risultato del sezionamento è annodato.

Un nastro, mille usi

Il ciclo infinito rappresentato dal nastro di Möebius ha esercitato e continua ad esercitare una particolare fascino sulla mente umana. E' stato ed è tuttora fonte di ispirazione e viene usato nelle più svariate discipline.

Il geniale illustratore olandese Mauritz Cornelius Escher, per esempio, ha dedicato più di un'opera al celebre anello.  La più famosa è "Nastro di Möebius II" (1963) da cui è possibile, con un solo colpo d'occhio, intuire tutte le sorprendenti proprietà della superficie uni-latere  che abbiamo discusso in precedenza.

Anche gli scultori Max Bill, con "Nastro Senza Fine" del 1953, e  John Robinson, con "Möebius Trefoil Knot" del 2006, hanno reso omaggio a questo fantastico oggetto topologico.

Stanley Kubrik in "Shining" (1980) utilizza l'Anello di Möebius come espediente narrativo. Il "dull boy" Jack, nel suo percorso che lo condurrà alla follia,  passa da una realtà ad un'altra proprio come se si stesse muovendo sull'unica faccia del nastro. Come fa notare Rodney Ascher nel suo documentario "Room 237" del 2012,  l'elemento ciclico è dominante in Shining. Tanto che il film  potrebbe essere visto anche partendo dalla fine.

Questo espediente narrativo viene utilizzato anche da Armin Deutsch nel suo racconto "Una metropolitana chiamata Möebius" del 1950. Racconto che verrà poi  trasposto  da Gustavo Mosquera nel film intitolato "Möebius" del 1996.

Precursore della scoperta di Möebius fu invece Johann Sebastian Bach. Nel 1747 il compositore, con il "Canone a 2 cancrizzante" dell'"Offerta musicale", fa percorrere ai due musicisti che eseguono il brano un nastro di Möebius. I due suonatori eseguono la partitura in direzioni contrarie fino ad incontrarsi e a scambiarsi le parti, invertendo anche il senso di lettura dello spartito.

In ambito architettonico molto curiosa è la "Scala Möebius" realizzata da Nicky Stephens e la "Möebius House" (1993 - 1997) di Ben van Berkel.

A livello pratico, il nastro di Möebius, vista la capacita di distribuire l'usura su tutta la superficie e non solo su una sola faccia, è stato impiegato per aumentare la durata di cinghie di trasmissione, nastri trasportatori e nastri per stampanti, macchine per scrive e telescriventi.

Nikola Tesla, all'inizio del '900, brevettò un particolare tipo di resistenza  elettrica che era in grado, utilizzando una disposizione a nastro di Möebius del materiale dielettrico, di annullare le interferenze magnetiche causate dalla corrente elettrica.

Abbiamo visto solo qualche esempio di come la scoperta del Dottor Möebius sia stata in grado di influenzare campi così diversi come l'arte, la letteratura, la cinematografia, la musica, l'architettura e l'ingegneria.

Perché allora non  prendiamo una striscia di carta, formiamo un anello e prima di incollare le estremità, diamo ad una di esse una mezza torsione...